苏联的数学领袖——国际大师柯尔莫哥洛夫

2003年1月16日至21日，一批世界著名数学家云集莫斯科，参加 名为“柯尔莫哥洛夫与当代数学 (KGlroogontv find Contemporaiy Mathematics) 的学术会 议.会议现格与国际数学家大会类似，会议邀请了 12 位当今一流的数学家作1小时主题报告，其中包括菲尔兹奖荻得者斯梅尔、诺维科夫,沃尔夫奖获得者阿诺 尔德、希策布鲁赫、卡尔森和西奈依.还有其它数学家作45分钟报告与20分钟报告.这些报告或多或少 触及了柯尔莫哥洛夫极广的研究领域.同年4月29日，莫斯科大学又举行纪念会,隆重纪念这位20世纪的伟大数学家、数学教育家百年诞辰。

安德列•柯尔莫哥洛夫,20世纪苏联最杰出的数 学家，也是20世纪全球最有影响的数学家之一，被誉 为“现代概率论之父”.其主要研究领域为概率论、算法 信息论、拓扑学、直觉主义逻辑、湍流、经典力学和计算 复杂性理论，最为人所道的是其对概率论公理化所作 出的贡献.他曾说:“概率论作为数学学科,可以而且应 该从公理开始建设,和几何、代数的路一样.”他的研究 几乎遍及数学的所有领域，做出许多开创性的贡献.另 外，柯尔莫哥洛夫对于俄国古建筑、诗歌、世界雕塑、绘 画等都有渊博的知识.

1933年.柯尔莫哥洛夫担任莫斯科大学数学力学 研究所所长，创建了概率论、数理统计擞理逻辑、概率 统计方法等教研室,先后教过数学分析、常微分方程、 复变函数论、概率论、数理逻辑和信息论等课程.由于 他的卓越成就，他在国内外享有极高的声誉也获得过 很多奖项，包括列宁奖、罗巴切夫斯基奖、沃尔夫奖等 等，也被选为20多个国家的外国院士.

柯尔莫哥洛夫一生共写学术论文(包括合作)488 篇，给《苏联大百科全书》共写114卷，给科普报刊撰写 57篇文章.柯尔莫哥洛夫的论著总计有230多种，涉及 的领域包括实变函数论、测度论、集论、积分论、三角级 数、数学基础论、拓扑空间论、泛函分析、概率论、动力 系统、统计力学、数理统计、信息论等多个分支.他研究 的领域，几乎遍及一切数学领域,他撰写的论文被形容 为“广泛的研究领域”、“引入新观点的独创性”及“明 快的叙述”.他所有的开创性工作是俄罗斯民族的骄 傲，也是世界人民的宝贵财富.

从小立志，做一名踏实求真的学者

柯尔莫哥洛夫1903年4月 25日出生于俄国的坦博夫城.五六岁时，柯尔莫哥 洛夫就独自发现了奇数与平方数的关系，体会到了数学发现的乐趣.外祖父家办了一份家庭杂志《春 燕》，年幼的柯尔莫哥洛夫竟然负责起其中的数学 栏目来，他把自己的上述发现发表在杂志上.

6岁时,他随家人去了莫斯科，在一所被认为是 当时最进步的预科学校读书.求学期间，柯尔莫哥洛 夫的兴趣异常广泛，他认真学习了生物学和物理学; 14岁时，他从一部百科全书中学习了高等数学.他 对象棋、社会问题和历史也产生了兴趣.

1920年中学毕业后，柯尔莫哥洛夫当了短时间 的列车售票员.工作之余，他写了一本关于牛顿力学 定律的小册子.同年，柯尔莫哥洛夫进莫斯科大学学 习.除了数学，他还学习了冶金和俄国史.他对历史 特别着迷，曾写了一篇关于15-16世纪诺夫格勒地 区地主财产的论文.关于这篇论文，他的老师、著名 历史学家巴赫罗欣说:“你在论文中提供了一种证 明,在你所研究的数学上这也许足够了，但对历史学 家来说是不够的,它至少需要五种证明.”也许这位 历史教授的回答对柯尔莫哥洛夫产生了重要影响， 最终他选择了只需要一种证明的数学.

1921年，他念大学二年级时开始研究三角级数 与集合上的算子等许多复杂问题,1922年定义了集 合论中的基本运算.同年，年仅19岁的柯尔莫哥洛 夫构造了一个勒贝格可积函数，写了几篇关于傅里 叶级数、解析几何的著名论文,这对解决卢津问题作 岀了重大贡献，震动了学术界.后来，他连续发表了 许多重要的研究成果，表现岀卓越的数学才能，载誉 国际.1925年，他证明了排中律在超限归纳中成立， 构造了直观演算系统，还证明了希尔伯特变换中的 一个切比雪夫型不等式.

1930年代,柯尔莫哥洛夫在数学各方面发表论 文80余篇.1931年，柯尔莫哥洛夫被莫斯科大学聘 为教授.1932年，应用拓扑、群的观点研究几何学. 1933年，他出版了《概率论的基本概念》，是概率论 的经典之作.该书首次将概率论建立在严格的公理 基础上，解决了希尔伯特第6问题的概率部分，标志 着概率论发展新阶段的开始，具有划时代的意义.同 年,柯尔莫哥洛夫发表了 “概率论中的分析方法”这 篇论文，为马尔可夫随机过程理论奠定了基础，从 此,马尔可夫过程理论成为一个强有力的科学工具. 在拓扑学上，柯尔莫哥洛夫是线性拓扑空间理论的, 创始人之一，他和美国著名数学家亚历山大同时独 立引入了上同调群的概念.1934年,柯尔莫哥洛夫 研究了链、上链、同调和有限胞腔复形的上同调. 1935年,在莫斯科国际拓扑学会议上，柯尔莫哥洛 夫定义了上同调环.1936年,柯尔莫哥洛夫定义了 任一局部紧致拓扑空间的上同调群的概念-1930年 代末，柯尔莫哥洛夫发展了平稳随机过程理论，美国 数学家维纳后来获得了同样的结果.柯尔莫哥洛夫 还把研究领域拓广到行星运动和空气的湍流理论.

1940年代，柯尔莫哥洛夫的兴趣转向应用方 面.1941年，他发表了湍流方面的两篇具有重要意 义的论文，促进了湍流理论的发展.这个时期，除了 数学，柯尔莫哥洛夫在遗传学、弹道学、气象学、金属 结晶学等方面均有重要贡献.

1950年代,他的研究领域包括经典力学、遍历 理论、函数论、信息论、算法理论等-1953和1954 年，柯尔莫哥洛夫发表了两篇动力系统及其在哈密 顿动力学中的应用方面的论文,标志着KAM理论 的肇始.1954年，柯尔莫哥洛夫应邀在阿姆斯特丹 国际数学家大会上作了“动力系统的一般理论与经 典力学”的重要报告.同时，柯尔莫哥洛夫还开始了 自动机理论和算法理论的研究.他和学生乌斯宾斯 基建立了今称“柯尔莫哥洛夫-乌斯宾斯基机”的 重要概念.他还力排反对意见，支持计算理论的研 究.1950年代中后期,柯尔莫哥洛夫致力于信息论 和动力系统遍历论的研究.他在动力系统理论中引 入了“熵”的重要概念，开辟了一个广阔的新领域， 后来，还促进混沌理论的诞生.

1960年代以后他又开创了演算信息论（今称 “柯尔莫哥洛夫复杂性理论”）和演算概率论这两个 数学分支.其实，柯尔莫哥洛夫的研究几乎遍及数论 之外的-•切数学领域.以至于,1963年在第比利斯 召开的概率统计会议上，美国统计学家沃尔夫维茨 说:“我来苏联的一个特别的目的是确定柯尔莫哥 洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构.“

兴趣广泛，全能型的数学斗士

柯尔莫哥洛夫一生兴趣非常广泛，除了在数学领域，在生物学、晶瞧等方面也 有很大的成就.此外，他对俄国古建筑、诗歌、雕塑、绘画 等方面有渊博的知识，可谓“全能型的数学斗士”.

他十分重视中学数学教育,20世纪30年代起 就指导全国中学生数学奥林匹克竞赛，编写辅导书 籍，亲自给学生讲课.创办物理数学寄宿学校，培养 了大批优秀中学生.先后担任苏联科学院科学教育 委员会数学部主任和教育部中学教科书委员会数学 部主任，主持编写中学数学教学大纲和教科书,从事 教学改革试验.

回忆起,1924年,他念大学四年级时就和当时 的苏联数学家辛钦一起建立了关于独立随机变量的 三级数定理;1928年,他得到了随机变量序列服从 大数定理的充要条件；1929年，得到了独立同分布 随机变量序列的重对数律;1930年,得到了强大数 定律的非常一般的充分条件;1931年,发表了《概率 论的解析方法》一文,奠定了马尔可夫过程论的基 础;1932年，得到了含二阶矩的随机变量具有无穷 可分分布律的充要条件.1934年,出版了《概率论基 本概念》一书，在世界上首次以测度论和积分论为 基础建立了概率论公理结论,这是一部具有划时代 意义的巨著，在科学史上写下原苏联数学最光辉的 一页.1935年,柯尔莫哥洛夫提出了可逆对称马尔 可夫过程概念及其特征所服从的充要条件，这种过 程成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网 络、蛋白质结构的重要模型.1936年,给岀了可数状 态马尔可夫链状态分布；1939年，定义并得到了经 验分布与理论分布最大偏差的统计量及其分布函 数.20世纪30 ~40年代他和辛钦一起发展了马尔 可夫过程和平稳随机过程论,并应用于大炮自动控 制和工农业生产中，在卫国战争中立了功.

在生物学中,1937年他首次构造了非线性扩散 行波型稳定解,1947年提出了分支过程及其灭绝概 率,1939年验证基因遗传的孟德尔定律.在金属学 中,1937年研究了金属随机结晶过程中一个给定点 属于结晶团的概率及平均结晶的数目.1941年应用 随机过程的预测和内插公式于无线电工程、火炮等 的自动控制、大气海洋等自然现象.在流体力学中， 上世纪40年代得出局部迷向湍流的近做公式.

除此之外,柯尔莫哥洛夫还是一位伟大的思想 家.什么是对于数学的适应性呢？柯尔莫哥洛夫总 结为以下三点:(1)算法能力:即对复杂式子作巧妙 的变形，对于用标准方法解不了的方程式作巧妙的 解决的能力.(2)几何学直观:对于抽象的东西，能 够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考.(3) 逐步地逻辑性推理的能力：例如能够正确地应用数 学归纳法.仅有这些能力，而对研究题目不抱有强烈 的兴趣、不作持久的研究活动的话，还是起不了什么 作用.可见，柯尔莫哥洛夫不仅是伟大的数学家，也 是伟大的教育家，也许说是伟大的思想家更合适.

提携后人，激励后人拼博进取

自庞加莱、希尔伯特、外尔等数学大师去世之 后，苏联的柯尔莫哥洛夫被认为是20世纪下半叶的 数学领袖人物.

他认为在数学教育中，好的教师应该是：(1)讲 课高明，比如能用其它科学领域的例子来吸引学生；

(2)以清晰的解释和宽广的数学知识来吸引学生；

(3)善于作个别指导，清楚每个学生的能力,在其能 力范围内安排学习内容，使学生增强信心.他还说: “只有那些自己对数学充满热情并且将之看成为一 门活的发展科学的人，才能真正教好数学.”柯尔莫 哥洛夫非常关心和重视基础教育，并亲自领导了中 学数学教科书的编写工作.他培养了许多优秀的数 学家，如盖尔范德、马尔釆夫、格涅坚科、阿诺尔德 等.柯尔莫哥洛夫具有独特的魅力，总是能吸引青年 人投入到他的工作，并形成以他为首的学派.

柯尔莫哥洛夫为有数学天赋的学生提供特殊教 育的计划，他创立了莫斯科大学数学寄宿学校.多年 来，他为此花费大量时间,制订教学大纲、编写教材、 授课、带领学生徒步旅行、探险、教学生音乐、艺术、 文学，注重孩子个性的自然发展.他的学生常常在全 苏和国际数学奥林匹克竞赛中名列前茅.但对于那 些成不了数学家的学生,他并不感到担忧，不论他们 最终从事什么职业，如果能保持开阔的视野、强烈的 好奇心，他都感到满意.

国际著名数学家、日本学者伊藤清教授曾说到：“……在我还是学生时读了他的名著《概率论的基 本概念》之后，便立志钻研概率论，并持续了 50年 之久.对于我来说，柯尔莫哥洛夫就是我的数学基 础.”柯尔莫哥洛夫在数学的几乎所有领域中，都提 出了独创的思想,导入了崭新的方法，他的业绩是非 常辉煌的.可以说，柯尔莫哥洛夫进行科学研究的过 程是:首先创建几个基本原理,接着让他的学生继续 进行研究,达到深入完备的程度，最后，吸引大量研 究人员加入，写综合报道，出专集，开交流会议,形成 科学方向和学派.对于学生，柯尔莫哥洛夫为他们创 造了良好的科学研究气氛.激发他们创造能力，发现 适合每个人特点的问题和任务，与他们分享自己的 思想，这些都让他的学生铭刻终生.

综观柯尔莫哥洛夫的一生,无论在纯粹数学还 是应用数学方面，在确定性现象的数学还是随机数 学方面，在数学研究还是数学教育方面，他都作出了 杰出的贡献.可见，柯尔莫哥洛夫为科学事业贡献了 他的光辉的一生，是一位具有高尚道德品质和崇高 的无私奉献精神的科学巨人！

END

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